A finales del siglo XX, año 1998, dos de los autores de este texto publicamos uno basado en la experiencia de impartir diversos cursos de Topología Diferencial en el Departamento de Geometría y Topología de la Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid. Se recogían en él las ideas centrales de transversalidad y aproximación en variedades con borde: los métodos que introdujo Thom a mediados del siglo XX, y que permiten hacer, en frase acuñada por Milnor «topología desde el punto de vista diferenciable». Efectivamente, producen de manera extremadamente elegante resultados muy importantes. Muchos colegas usaron aquel texto en sus cursos e hicieron comentarios y sugerencias, y luego, ya descatalogado, aún preguntaban por él. Este halago nos empujó a escribir otro nuevo ya en este siglo, año 2014. Inevitablemente, nuestro punto de vista sobre cómo se desarrolla un curso de iniciación de Topología Diferencial había variado con los años. Así, aunque fieles a la idea original, produjimos un texto distinto en aspectos relevantes. Aquí fue esencial la contribución del autor que no estuvo en aquella aventura inicial. Hubo después en 2020 una reedición sustancialmente revisada, y ahora el lector tiene en sus manos ésta con más mejoras. Todas las revisiones son el fruto de explicar el texto en el aula, en el Master de Matemáticas Avanzadas de la UCM. Los cambios introducidos han derivado en buena parte del entusiasmo de nuestros alumnos por aprender y les agradecemos haber elegido nuestras clases. Muchas personas nos han ayudado en estas reediciones, y no podemos nombrarlas a todas, pero como representación queremos citar a Jaime J. Sánchez Gabites, cuyas observaciones han sido verdaderamente iluminadoras. En fin, de nuevo agradecemos a Sanz y Torres que continuadamente apoya nuestro deseo de perfeccionar el libro.

Este texto está pensado para un cuatrimestre a razón de cinco horas semanales, contando con el trabajo individual de cada estudiante. El objetivo es explicar qué es la transversalidad y cómo se utiliza junto con la aproximación para abordar problemas topológicos. Las treinta y cuatro secciones de sus cuatro capítulos se enumeran en la página IX y sus títulos dan razón precisa de las etapas del recorrido que proponemos. La salida es la definición de variedad con borde y la meta son seis teoremas fundamentales: el del punto fijo de Brouwer, el de invarianza del dominio, el de separación de Jordan-Brouwer, el de homotopía de Brouwer-Hopf, el de la esfera de Brouwer y el de Borsuk-Ulam.

Señalemos que:

(1) Consideramos siempre variedades sumergidas en un espacio afín, pero incluimos una prueba elemental a partir de las definiciones de que las variedades diferenciables abstractas son todas sumergidas.

(2) Construimos de manera explícita directa los entornos tubulares de una variedad diferenciable en un espacio afín y las retracciones propias diferenciables asociadas.

(3) Detallamos la construcción de collares de una variedad con borde, sin utilizar flujos, y de las correspondientes retracciones propias continuas (diferenciables no pueden ser).

(4) Demostramos los resultados completos de aproximación y homotopía diferenciables para aplicaciones con valores en variedades con borde.

En las fuentes que conocemos estos resultados de aproximación y homotopía se formulan sólo para aplicaciones con valores en variedades sin borde. El argumento habitual apela a las retracciones diferenciables, y por ello no vale para variedades con borde. Aquí utilizamos collares para complementar ese argumento y poder establecer los resultados sin restricciones de borde. Todo esto es ciertamente parte del folklore de los especialistas, pero es bueno escribir ese folklore alguna vez.

En otro orden de cosas, hacemos una simplificación grande de la presentación limitándonos a variedades de clase infinito, que denominamos simplemente variedades diferenciables. El tratamiento de la clase finita supone, o bien el registro cuidadoso de las pérdidas de diferenciabilidad que sobrevengan, o bien algún método adicional de recuperación de esas pérdidas. Pensamos que lo primero no aportaría nada significativo, mientras que lo segundo aumentaría demasiado la dificultad de un curso de iniciación.

Insistimos en calificar este libro de texto porque la exposición está depurada al máximo para que se pueda impartir linealmente y sea verdaderamente abarcable.

Y como libro de texto que es, incluye una colecciçon de problemas (200), refuerzo y complemento de la materia presentada.

Enrique Outerelo, Juan Ángel Rojo, Jesús M. Ruiz

E. Outerelo Dominguez